« Skrivande som påverkan | Main | Tillit och anseende i ekonomiska transaktioner »

oktober 28, 2003

De svenska myntens talsystem

I Svaret är ungefär 41 - Mynten igen, alltså berättas om en (idealiserad) fördelning av mynten man får tillbaka vid köp.

Här är ett annat sätt att se fördelningen av antalet 10-or, 5-or, 1-kronor samt 50-öringar. Detta sätt utgår från kombinatoriken snarare än simulering.

Man kan se myntens möjliga fördelning som ett eget lustigt talsystem ("de svenska myntens talsystem"), där vi har följande möjliga grundvärden 
  10, 5, 1, 0.5
Jämför med 1, 10, 100, 1000, etc i det decimala talsystemet eller 1, 2, 4, 8, 16 etc i det binära.

I detta mynt-system räknar man lite annorlunda än vanliga talsystem eftersom man här, i en viss (idealiserad) pengar-tillbaka-situation, endast kan få tillbaka ingen (0) eller en (1) 10-krona, 5-kronor respektive 50-öring, medan man kan få tillbaka ingen (0) eller upp till fyra (4) 1-kronor.

Enklast att se detta är att göra en tabell över hur mynten fördelas sig över de 40 möjliga värdena (från 0 till 19.50 i steg om 50-öre).

Kolummnerna är
Pengar-tillbaka-värdet, antal 10-kr, antal 5-kr, antal 1-kr, antal 50-öre 
> cbind((0:39)/2, t(sapply((0:39)/2, function(x) return.change(x))))
      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
 [1,]  0.0    0    0    0    0
 [2,]  0.5    0    0    0    1
 [3,]  1.0    0    0    1    0
 [4,]  1.5    0    0    1    1
 [5,]  2.0    0    0    2    0
 [6,]  2.5    0    0    2    1
 [7,]  3.0    0    0    3    0
 [8,]  3.5    0    0    3    1
 [9,]  4.0    0    0    4    0
[10,]  4.5    0    0    4    1
[11,]  5.0    0    1    0    0
[12,]  5.5    0    1    0    1
[13,]  6.0    0    1    1    0
[14,]  6.5    0    1    1    1
[15,]  7.0    0    1    2    0
[16,]  7.5    0    1    2    1
[17,]  8.0    0    1    3    0
[18,]  8.5    0    1    3    1
[19,]  9.0    0    1    4    0
[20,]  9.5    0    1    4    1
[21,] 10.0    1    0    0    0
[22,] 10.5    1    0    0    1
[23,] 11.0    1    0    1    0
[24,] 11.5    1    0    1    1
[25,] 12.0    1    0    2    0
[26,] 12.5    1    0    2    1
[27,] 13.0    1    0    3    0
[28,] 13.5    1    0    3    1
[29,] 14.0    1    0    4    0
[30,] 14.5    1    0    4    1
[31,] 15.0    1    1    0    0
[32,] 15.5    1    1    0    1
[33,] 16.0    1    1    1    0
[34,] 16.5    1    1    1    1
[35,] 17.0    1    1    2    0
[36,] 17.5    1    1    2    1
[37,] 18.0    1    1    3    0
[38,] 18.5    1    1    3    1
[39,] 19.0    1    1    4    0
[40,] 19.5    1    1    4    1
En summering av kolumnerna ger: 
> apply(t(sapply((0:39)/2, function(x) return.change(x))),2,sum)
[1] 20 20 80 20
Av de 40 olika möjliga fallen, finns det 20 sätt (20/40 = 1/2) att få tillbaka respektive en 10-krona, en 5-krona samt en 50-öring, men 80 sätt (80/40 = 2) att få tillbaka åtminstone en 1-krona. Här har vi alltså den fördelning som tidigare simulerats fram: 
    c(1/2, 1/2, 2, 1/2)
Om vi normaliserar så att summan blir 1 erhåller man motsvarande sannolikheter att få tillbaka ett speciellt mynt. 
> xx<-c(1/2,1/2,2,1/2)
> xx/sum(xx)
[1] 0.1428571 0.1428571 0.5714286 0.1428571

Antal mynt
Hur många mynt kan vi förvänta oss att få tillbaka? Vi lägger till en sjätte e kolumn med antal mynt som motsvarar en viss summa. Kolumnerna är
Pengar-tillbaka-värdet, antal 10-kr, antal 5-kr, antal 1-kr, antal 50-öre, antal mynt 
> xx<-t(sapply((0:39)/2, function(x) return.change(x)))
> cbind((0:39)/2,xx,apply(xx,1,sum))
      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
 [1,]  0.0    0    0    0    0    0
 [2,]  0.5    0    0    0    1    1
 [3,]  1.0    0    0    1    0    1
 [4,]  1.5    0    0    1    1    2
 [5,]  2.0    0    0    2    0    2
 [6,]  2.5    0    0    2    1    3
 [7,]  3.0    0    0    3    0    3
 [8,]  3.5    0    0    3    1    4
 [9,]  4.0    0    0    4    0    4
[10,]  4.5    0    0    4    1    5
[11,]  5.0    0    1    0    0    1
[12,]  5.5    0    1    0    1    2
[13,]  6.0    0    1    1    0    2
[14,]  6.5    0    1    1    1    3
[15,]  7.0    0    1    2    0    3
[16,]  7.5    0    1    2    1    4
[17,]  8.0    0    1    3    0    4
[18,]  8.5    0    1    3    1    5
[19,]  9.0    0    1    4    0    5
[20,]  9.5    0    1    4    1    6
[21,] 10.0    1    0    0    0    1
[22,] 10.5    1    0    0    1    2
[23,] 11.0    1    0    1    0    2
[24,] 11.5    1    0    1    1    3
[25,] 12.0    1    0    2    0    3
[26,] 12.5    1    0    2    1    4
[27,] 13.0    1    0    3    0    4
[28,] 13.5    1    0    3    1    5
[29,] 14.0    1    0    4    0    5
[30,] 14.5    1    0    4    1    6
[31,] 15.0    1    1    0    0    2
[32,] 15.5    1    1    0    1    3
[33,] 16.0    1    1    1    0    3
[34,] 16.5    1    1    1    1    4
[35,] 17.0    1    1    2    0    4
[36,] 17.5    1    1    2    1    5
[37,] 18.0    1    1    3    0    5
[38,] 18.5    1    1    3    1    6
[39,] 19.0    1    1    4    0    6
[40,] 19.5    1    1    4    1    7
Medelvärdet av antal mynt är 
> mean(apply(xx,1,sum))
[1] 3.5
I genomsnitt får vi alltså tillbaka 3.5 mynt tillbaka.

Och så här fördelas frekvensen av antal mynt. 
> table(apply(xx,1,sum))

0 1 2 3 4 5 6 7 
1 4 7 8 8 7 4 1
Dvs det finns 8 möjligheter att få tillbaka 3 mynt, 1 möjlighet att få inga eller 7 mynt osv.


Generaliseringar
Jag kan tyvärr inte garantera att detta var den sista anteckningen om mynts fördelning, eftersom det finns ett antal generaliseringar som kan göras.

Posted by hakank at oktober 28, 2003 01:12 EM Posted to Diverse | Matematik

Comments

Hihi. Roligt med heltalspartitioner. Blir lite inspirerad att ta itu med ett eget litet hobbyforskningsprojekt jag pillade med tidigare som har arbetshypotesen: Om alla som använder hissen i mitt hus, alltid trycker ner den till bottenvåningen efter de nått dit de ska, så kommer väntevärdet för den totala "restiden" i huset bli mindre. När hissen i mitt hus kört klart "hissalgoritmen" (utför alla uppdrag i samma riktning som jag rör mig först...) så stannar den bara där den är nämligen. Borde inte vara så svårt att simulera fram trovärdiga resultat.

Posted by: Erik Tjernlund at oktober 30, 2003 12:59 FM

Har också funderat lite på detta. Det borde, som sagt, vara rätt enkelt att simulera. Är det OK om jag också gör ett försök?

Fråga: Är det ett hus där alla antingen ska upp till sin egen våning från bottenvåningen eller ut ur huset (till bottenvåningen)?

För om det även finns inom-husliga hissåkningar skulle jag kunna tänka mig att en "tennis-algoritm" ('gå alltid till mitten av planen efter slag') kan vara intressant att studera.

Posted by: Håkan Kjellerstrand at oktober 30, 2003 01:37 FM

Hissalgoritmer är mycket intressanta att studera. I hus med en hiss är det dessutom relativt enkelt. Alternativen är visst att hissen blir stående, flyttar sig till en på förhand bestämd våning eller så använder den sig av en algoritm som lär sig vilken tid folk vill åt åt vilket håll (används i vissa nya hissar).

Jag har ibland funderat på vad man egentligen vill minimera. Är det väntevärdet för väntetiden eller hur ofta man får hissen direkt, utan att vänta? I ett hus där jag bodde tidigare flyttade sig hissen alltid efter en minuts stillastående till våning 1. Våning 1 är säkert ett bra medeltal, eftersom många kommer från bottenvåningen och resten från våningarna 4-6. Tyvärr betyder det här att nästan ingen kan använda hissen utan att först vänta (på första våningen behöver man inte hiss). Ändå är väntetiden i medeltal mycket kort. Själv skulle jag vilja att hissen ibland fanns i rätt våning. Väntar jag 6 sekunder kan jag lika gärna vänta 15 s. Jag har ändå blivit lite missnöjd.

För ett halvt år sedan sökte jag information om hissalgoritmer, men nu har jag tyvärr städat bort adresserna och texterna. Om jag hittar ska jag sätta upp dem.

Blir intressant att se din simulering.

Posted by: Peter Löfgren at oktober 30, 2003 10:39 FM