« Nu även med Skype | Main | Sammanfattning bloggareträff 4 september »
september 04, 2005
Svaren på Augusti-pyssel
Här kommer så de eftersökta (?) svaren på 2005 års Augusti-pyssel. Pysslen är samtliga saker som jag själv leker med från tid till annan.
Fråga 1) Vad står här egentligen och varför (dvs enligt vilken metod): 1045668080
Svar: Det står "hakank" i bas 36. Detta kan lämpligast kontrolleras via programmet base_conv, se vad som står för bas 36. Programmet beskrevs mer i base_conv: Konvertering av ord till tal till ord just som en ledtråd till denna gåta.
Fråga 2) Vad står här egentligen och varför: 15604225
Svar: Det står "messages". Enligt följande mekanism
1. En faktorisering av talet ger följande primtal: 5, 7,13, dvs 15604225 = 5^2 * 7 * 13 * 19^3.
2. Om man tar positionerna i alfabetet "a".."z" och låter "a" har position 1, "b" position 2 etc, för dessa faktorer får man bokstäverna: "e", "g", "m", "s". Faktorn 5^2 motsvarar två stycken "e", 7^1 motsvarar ett "g" etc. Hela denna konvertering skapar bokstäverna: "e","e","g","m","s","s","s" enligt följande:
alpha = "abcdefghijklmnopqrstuvxyz"
alfa[5] = e # 5^2 : 2 stycken e
alfa[7] = g # 7^1: 1 styck "g"
alfa[13] = m # 13^1: 1 styck "m"
alfa[19] = s # 19^3: 3 styck "s"
Eftersom talet 1 (som motsvarar "a") alltid är en giltig faktor så kan denna bokstav också ingå. Den slutliga bokstavsmassan blir alltså
0 eller flera "a" (här behövs exakt ett "a")
e
e
g
m
s
s
s
dvs e e g m s s s samt eventuellt ett gäng a.
Efter lite anagrammerande kryper det korrekta svaret "messages" fram..
OK, a-konstruktionen gjorde det kanske onödigt svårt, och var det som antyddes i den uppdaterade kommentaren på Augusti-pyssel-sidan. Sorry 'bout that.
Fråga 3) Vad ska stå i stället för "?" i nedanstående?
Så kommer vi till sekvenserna där bara ett tal var givet. I kommentarerna gavs sedan en ledtråd med det omedelbart föreliggande talet.
a) ...., 1596, ?
Svar: 2583. Detta är summan av de 15 första Fibonacci-talen och svaret är det 16:e talet i denna serie, dvs 2583.
# Fibonacci talen
> fibonacci(i)$i=1..15;
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610
# summan av de 14 första
> sum(fibonacci(i),i=1..14);
986
# 15 första
> sum(fibonacci(i),i=1..15);
1596
# och så de 16 första
> sum(fibonacci(i),i=1..16);
2583
# hela serien
> seq(sum(fibonacci(i),i=1..a), a=1..16);
1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583
Sekvensen som fås av summan av de första a Fibonacci-talen är för övrigt 1 snäpp ifrån Fibonacciserien:
> seq(sum(fibonacci(i),i=1..a)+1, a=1..16);
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584
Eller snarare: Det är en Fibonacci-liknande rekursiv serie där men i stället för att utgå från (1,1) som generatorer utgår man från (1,2).
b) ...., 78, ?
Svar: 91. Serien är addition av de a (12) första naturliga talen och nästa tal är det 13 talet i denna serie.
> 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11;
66
> 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12;
78
> 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13;
91
# hela serien
> seq(sum(i,i=1..a),a=1..13);
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91
c) ...., 129, ?
Svar: 160. Detta är summering av de första primtalen och svaret är det 11 talet i denna serie: 160 som fås när man adderar 31 till 129 = 160.
> ithprime(i)$i=1..10;
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
> 2+3+5+7+11+13+17+19+23;
100
> 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29;
129
> 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31;
160
# hela serien
> seq(sum(ithprime(i),i=1..a),a=1..11);
2, 5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, 129, 160
Fråga 4) Vad är det gemensamma för nedanstående ord?
* besökes
* eksem
* gömmes
* webb
Svar: Samtliga dessa ord innehåller endast bokstäver med primtalspositioner (cf diskussionen kring fråga 2). Primtalsbokstäverna är alltså där positionen står först. (Not: positionen 1 för "a" har jag redan bett om ursäkt för.)
1:a
2:b
3:c
5:e
7:g
11:k
13:m
17:q
19:s
23: w
29:ö
Orden med respektive faktorer:
* besökes: 5757950 = 2 * 5^2 * 11 * 19^2 * 29
* eksem: 67925 = 5^2 * 11 * 13 * 19
* gömmes: 3259165 = 5 * 7 * 13^2 * 19 * 29
* webb: 460 = 2 * 5 * 7^2
Notera att orden inte innehåller samma antal faktorer (antal bokstäver) som det givna talet, utan är ord som endast innehåller dessa bokstäver oavsett hur många förekomster av bokstaven som ingår. Denna fråga var mestadels med som en ledtråd till fråga 2.
Posted by hakank at september 4, 2005 12:24 EM Posted to Matematik