« Kort om George Lakoff & Mark Turner: "Metaphors we live by" och lite annat relaterat till Lakoff | Main | Ivars Peterson: Sudoku Math »

juni 20, 2005

Grävlingsserien

Not: Denna anteckning har en begränsad men - sedd i efterhand - synnerligen väldefinierad målgrupp.


Följande fråga ställes: Om en grävling får 4 st barn hur många blir de tillsammans?

Efter några inledande tveksamheter och pannvecklande samt ytterligare två koppar te kan olika svar förevisas.

a) Det är 5 grävlingar eftersom 1 + 4 = 5.


b) Svaret kan bero på vem som är "givaren". Eller snarare: Eftersom det oftast krävs två grävlingar för att skapa ett grävlingsbarn innebär det att det är 2 föräldrar samt 4 barn, dvs totalt 6 grävlingar.


b2) Å andra sidan kanske det krävs n grävlingar för att skapa ett grävlingsbarn där svaret i så fall är: 1 + 4 + n = 5 + n grävlingar.


c) Grävlingsserien
Om det inte finns något uttryckligt villkor för summeringens slut skulle det bli en regress (i princip oändlig, eller i alla fall tills pappret, internminne eller samtliga atomer i universum har tagits i anspråk för anteckningarna). Denna serie ska här nedan avtäckas.

Några underförstådda förutsättningar:
- en (1) grävling får exakt 4 (fyra) ungar, varken fler eller färre
- inga grävlingar dör i denna värld
- det är en lustig värld som här framträder
- vi bryr oss inte det minsta om varifrån den första grävlingen kommer. Den bara finns där och har förmåga att skapa (exakt) 4 barn.


Först finns det alltså en enda grävling: Totalt 1 grävling.
Sedan får denna grävling fyra ungar: Totalt 1 + 4 = 5 grävlingar.

Dessa 4 grävlingar får respektive 4 ungar = 16,
Totalt är detta 1 + 4 + 16 = 21 grävlingar

Dessa 16 grävlingsbarn får respektive 16 * 4 = 64 barn, och totalt blir detta 1 + (1*4) + (4*4) + (16*4) = 1 + 4 + 16 + 64 = 85 grävlingar. Osv.

Serien definieras enligt följande rekursionsformel där G[g] är hur många grävlingar det finns vid generationen g (g = 0..stort tal).

G[0] = 1
G[g] = Sum(G[i],i = 1..g-1) + 4 * G[g-1]

dvs antalet grävlingar (G) i "denna" generation definieras av summan av de grävlingarna i de tidigare generationerna plus antalet barn som föddes i den föregående generationen.

Vilket här ger följande serie:

1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, 349525, ...

Antal barn som föds i respektive generation är (vi antog att den första grävling magiskt uppstått ur intet eller något sådant).

(1), 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, 262144, ...

vilket enkelt kan uttryckas som

4^g för g=0..samma stora tal

Grävlingsserien har den genererande funktionen:

- 1
--------------------
( -1 + 5*x - 4*x^2 )

En generalisering av denna funktion är att antal barn per grävling blir variabel (betecknas med N) vilket då ger den genererande funktionen:

- 1
------------------------
( -1 + (N+1)*x - N*x^2 )

T.ex. om en grävling får 10 barn (N = 10) blir det följande grävlingsserie:

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111, 1111111111, ...

Detta är inte är så konstigt eftersom antal grävlingar som föds i respektive generation är:

1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, 1000000000, 10000000000, ...

Ja, det var alltså Grävlingsserien.


d) Om du just nu sitter på SommarHacket och undrar vad denna fråga leder så har du kommit rätt och skall ange bokstaven K som svar, men inte annars.


e) Det finns med stor sannolikhet fler alternativa svar på frågan som ställdes. T.ex. 4.


Man skulle även kunna tolka allt det ovanstående enligt följande substitutionsregel:
Grävling = Gåta.
Får X barn = Inspirerar till ytterligare X gåtor.


Se även
Cut The Knot: Generating functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

Posted by hakank at juni 20, 2005 07:38 EM Posted to Matematik

Comments

Himla kul tidsfördriv :-)! En sak jag stannar vid är frågan "Om en grävling får 4 st barn hur många blir de tillsammans?" ... Hur många _vad_ tillsammans? Grävlingar, grävlingsungar, för alla N grävlingar som finns nu (med fler frågor) ... etc, som kan generera ännu fler alternativ då.


Posted by: thebe at juni 20, 2005 09:22 EM

Thebe: Precis min åsikt.

Några ytterligare formuleringar (som möjligen täcks av dina generella varianter):
- Hur många blir de tillsammans med en elefant, en get och två morötter på en tallrik?
- Hur många blir de tillsammans om man endast räknar barn som föds i generationer som är primtal eller jämt delbart med 12? (Första generationen är 0.)
- Hur många blir de tillsammans om man bara räknar till 2?
- Hur många år blir de tillsammans om det föds ett barn om året?
- Hur många blir de tillsammans kring julbordet?
- Blir de tillsammans med några andra grävlingar?
- Hur många ekorrar blir de tillsammans?

Ja, frågorna är nästan inte uppräkningsbara på en och samma dag. Endast fantasin sätter takräcket på denna gåtbil.

Posted by: hakank [TypeKey Profile Page] at juni 20, 2005 09:36 EM

Hur många hinner grävlingarna bli innan de inavlar ihjäl sig - eller gör de inte det?

Jag brukar skoja med odödliga och mycket fertila kaniner.
Ett kaninpar: 1
Detta par föder ett nytt kaninpar: 2 kaninpar
Sedan föder de ett kaninpar till (det senaste kaninparet är ännu inte könsmoget): 3
Sedan föder två kaninpar två kaninpar: 5
Nu föder tre kaninpar tre kaninpar: 8
Etc.

Talserien gör att vi minns medeltidens Italien och matematikern Fibonacci och serien är numera världsberömd tack vare boken Da Vinci-koden. Jag insåg omedelbart vid läsning att det var Fibonacci-serien som prydde stackars liket i första akten.

Riktigt skoj är att en talseriens geometri nära ansluter till Gyllene snittets proportioner. Se t.ex. Fibonacci numbers här http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

Posted by: Henrik Sundström at juni 21, 2005 11:59 FM

Håkan: Ja, för att inte tala om hur många det blir om man kvadrerar dem, eller låter dem simma :-)!
Och Henrik, du inför olinjäriteter i systemet med att säga att det är inavel! Det kommer ju att bli ett optimum då man får sluta addera grävlingar! Ingen oändlighet där inte :-)!

Jag läste mer om Fibonacci-tal:
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

Titta särskilt på figurerna, den med trianglar, och dominobrickorna. Kuligt :-)!

Posted by: thebe at juni 21, 2005 04:42 EM

Ber att få korrigera mig själv - fibonacciserien inleds med 1,1, emedan det första kaninparet inledningsvis inte är könsmogna, såklart ju!
Ergo: 1, 1, 2, 3, 5, 8 etc.

Posted by: Henrik Sundström at juni 21, 2005 10:49 EM

Henrik: Självklart får du korrigera dig själv. :)

Ja, Fibonacci-serien är onekligen väldigt fascinerande.

Det finns andra lika spännande serier även om de inte direkt är tillämpliga på kaniner, t.ex. Catalan-serien: 0, 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012.
Se t.ex.
http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html
http://mathforum.org/advanced/robertd/catalan.html


Och som refererades i anteckningen så finns det mängder av heltalssekvenser på "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences": http://www.research.att.com/~njas/sequences/


Thebe: Good points. Relaterad fråga: Hur många vatten finns det i ett hav? :)


Här är f.ö. några andra egenskaper hos grävlingsserien:

* Det finns en formel för serien: (4^n - 1)/3
Dvs ersätt n med ett tal och räkna. n motsvarar här generationsnummer g + 1.


* Den binära motsvarigheten till talen i serien är intressant: alternerande 1 och 0, dvs

1: 1
5: 101 (2^2 + 0 + 1 = 5)
21: 10101 (2^4 + 0 + 2^2 + 1 = 21)
85: 1010101 (2^6 + 2^4 + 0 + 2^2 + 1 = 85)
341: 101010101 (osv)
1365: 10101010101
5461: 1010101010101
21845: 101010101010101
87381: 10101010101010101
349525: 1010101010101010101
...

Och i bas 4 är det bara ettor:

1: 1 (1)
5: 11 (4^1 + 1 = 5)
21: 111 (4^2 + 4^1 + 1= 21)
85: 1111 (4^3 + 4^2 + 4^1 + 1 = 85)
341: 11111 (osv)
1365: 111111
5461: 1111111
21845: 11111111
87381: 111111111
349525: 1111111111

I bas 16 är det på samma sätt 5:or och "när det behövs" en inledande 1:a. ("När det behövs" är troligen inte ett väldefinierat matematiskt begrepp.)

1: 1
5: 5
21: 15 (16^1 + 5 = 21)
85: 55 (5*16^1 + 5 = 85 )
341: 155 (16^2 + 5*16^1 + 5)
1365: 555
5461: 1555
21845: 5555
87381: 15555
349525: 55555


En sista kommentar:
Detta fick mig av någon anledning att tänka på den tidigare undersökningen om "De svenska myntens talsystem", vilken sprang ut ur en undran hur mycket pengar väger:
http://www.hakank.org/webblogg/archives/000268.html

Posted by: Håkan Kjellerstrand at juni 22, 2005 12:00 FM

Det här inlägget tyckte jag om. Jag vet inte riktigt varför, men kul var det :)

Posted by: Daniel at juli 11, 2005 05:08 FM